W = ∫ F dx
což je práce, kterou vykoná síla F při pohybu po dráze (dráha leží v ose x). Meze integrace si zjednodušíme okrajovými podmínkami x(t=0) = 0 (souřadnice x je na počátku v čase t = 0 rovna 0). Kdybychom předpokládali sílu F konstantní, bude práce W = Fx. Podržme si zatím maximalní obecnost. Vývoj dráhy x je závislý na vývoji rychlosti (velocity) tělesa v = dx/dt –> dx = vdt. Pro práci potom platí:dW = Fv dt
Výkon (Power) je definován jako časová změna práce:P = dW/dt
Z předchozích rovnic tedy platí (stále zcela obecně):P = Fv
Interpretace: výkon P je zpusobován silou F, která působí na těleso pohybující se rychlostí v. Teď opustíme obecnou platnost a podívame se přímo na náš případ: P bude konstantní, námi zvolený a hledáme působící sílu F. Ta je rovna P/v a způsobuje zrychlení a tělesa m:
P/v = ma = m dv/dt
P/(mv) = dv/dt
∫ P/m dt
= ∫ v dv
Pt/m = 1/2 v2
v = √(2Pt/m)
Fodp = 1/2 Cx ρ S v2
kde Cx je součinitel aerodynamického odporu, ρ je hustota vzduchu, S je (maximální) čelní plocha tělesa a v je rychlost tělesa. Zavedeme-li označení k = 1/2 Cx ρ S, má pohybová rovnice tvar:P/v − kv2 = m dv/dt
Tato diferenciální rovnice je separovatelná. Chceme-li získat analytické implicitní řešení pro nezávisle proměnný čas, stačí třeba na integrals.com zadat m/(P/x-k*x^2), z čehož se dozvíme "závislost" času t na rychlosti v. (Vyjádřit z této rovnosti v(t) se nezdá být úplně triviální.) Po obrácení os vypadá grafické řešení pro funkci v(t) následovně:Na ose x roste nezávisle proměnný čas, na ose y pak rychlost v(t), jednotlivé průběhy jsou vyvedeny pro různé hmotnosti m = 500 kg, 1775 kg a 5000 kg a pro neměnné P = 92 kW, k = 0,471324 (S = 2,4 m2; Cx = 0,31; ρ = 1,267 kg/m3). Z řešení je vidět, že s časem rostoucím do nekonečna postupně vymizí člen m dv/dt, tj. že zrychlení je nulové. Pro maximální rychlost v(t→∞) lze potom psát:
P/v = kv2
v = 3√(P/k)