na čelo
do školičky

Materiály:
Kompletní přednášky (Reif)
Přehled (povolený tahák na Brouska)
Příklady (Friesl, pouze na ZČU)

První příklad (stejné zadání, obměna zapojení):
1) Spočtěte prst poruchy celku, jsou-li P₁,...,P₄ prsti poruch součástek a poruchy jsou nezávislé jevy.

Zadání z 5.1.2001:
2) Linka vyrábí s prstí 0,1 výrobky 1. jakosti, s prstí 0,9 výrobky 2. jakosti.
a) Určete prst, že ze 3 náhodně vybraných budou alespoň 2 první jakosti.
b) Nakreslete distribuční funkci náhodné veličiny X=počet výrobků 1. jakosti mezi třemi náhodně vybranými.
Řešení:
Tato prst ~ Bi (0,1; 3). A tedy P(X=0)=1.0,1⁰.0,9³=0,729; podobně P(X=1)=0,243; P(X=2)=0,027; P(X=3)=0,001. Prst, kterou hledáme P = P(X=2) + P(X=3) = 0,028. Distribuční fci lze z vypočtených hodnot snadno nakreslit.
3) X_i ~ R(0,1), kde i=1,...,25 a jsou nezávislé. Mějme poté náhodnou veličinu Y=X₁+...+X₂₅. Spočtěte
a) E(Y) a D(Y),
b) přibližně prst P(Y>14).
4) Ve schématu o dvou součástkách zapojených paralelně se (???)životnost(???) každé z nich řídí exponenciálním rozdělením. Spočtěte F(X) pro dobu životnosti celku.

Zadání z 8.1.2001:
2) X ~ Po(50). Spočtěte přibližně
a) P(X=50)
b) P(X>60)
3) Náhodná veličina X může nabývat hodnot 0 s prstí 0,5; 10 s prstí 0,2; -10 s prstí 0,3. Náhodná veličina Y je součet sta nezávislých veličin tohoto typu. Spočtěte
a) E(Y) a D(Y)
b) P(Y>0)
4) X ~ W s distribuční funkcí F(X)=1-e^-(x/100)2. Spočtěte prst, že X<500, víme-li, že X>300.
5) Ze 100 náhodně vybraných výrobků 2. jakosti spočtěte 95% interval spolehlivosti pro podíl výrobků 2. jakosti.

Zadání z 24.1.2001:
(B)
2) Roztržitý profesor v každém obchodě, který navštíví s deštníkem, zapomene deštník s prstí 1/3. Navštívil 3 obchody a vrátil se bez deštníku. Spočtěte prst, že ho zanechal v posledním obchodě.
Řešení:
jev A ... profesor zapomněl deštník v posledním obchodě
jev B ... profesor zapomněl deštník
Jde o podmíněnou prst. Tedy
P(A|B)=P(AÇB)/P(B)=P(A)/P(B)= (2/3).(2/3).(1/3) / [(1/3)+(2/3).(1/3)+(2/3).(2/3).(1/3)] = 4/19
3) V zásilce 4000 součástek má být nejvýše 2% zmetků. Náhodně se vybere a zkontroluje 500 kusů. Při jakém počtu zmetků mezi nimi můžeme zásilku vrátit, aby prst vrácení správné zásilky byla nejvýše 0,05? Jaká je pak prst vrácení zásilky obsahující 4% zmetků?
4) V produkci určité výrobní linky bývá 3% zmetků. Při měření přístroj odhalí zmetek s prstí 0,98. Je-li výrobek správný, pak přístroj s prstí 0,01 hlásí (omylem) vadu. Jestliže přístroj u určitého výrobku hlásil vadu, s jakou prstí jde o zmetek?

(A)
3) Veličiny X₁...X_n mají exponenciální rozdělení s E(X)=100 a jsou nezávislé. Jaká je prst, že jejich součet bude větší než 3000?
4) Při použití 1. technologie výroby z 500 výrobků - 10 zmetků, při použití 2. jen 5 zmetků. Lze říci, že mezi technologiemi je významný rozdíl?

Zadání z 5.2.2001:
2) Pomocí metody nejmenších čtverců odhadněte A pro hyperbolu y=A/x, když znáte dvojice [x_i, y_i] (kde i=1,...,n).
Řešení:
hledáme minimum pro S(y-y_i)² = S(A/x_i - y_i)² = S(A²/x_i² - 2y_iA/x_i + y_i²)
derivace podle A je rovna nule: S(2A/x_i² - 2y_i/x_i) = 0
odtud pro A = S(y_i/x_i) / S(1/x_i²)
3) X ~ LN (m,s²). Určete x takové, že P(X>x)=0,95.
4) Hráči A a B házejí kostkou. X_A a X_B jsou hodnoty bodů, co hodili.
a) nakreslete distribuční funkci veličiny Y = X_A - X_B
b) oba hráči hodí 100x kostkou, určete prst, že

100 ĺ i = 1

XAi -

100 ĺ i = 1

XBi > 50

Zadání z 2.3.2001:
2) Pomocí metody nejmenších čtverců odhadněte koeficient b pro parabolu y=bx², když znáte dvojice [x_i, y_i] (kde i=1,...,n).
3) Funkce X má hustotu pravděpodobnosti podle obrázku. Určete prst, že X>3, když víme, že X>2.

Řešení:
P(X>3 | X>2) = 0,25. Lze řešit na první pohled z poměru obsahů trojúhelníků pro X>3 a X>2, jsou si podobné a poměr obsahů je 1/4.
4) Mějme X₁...X₁₀₀ nezávislých NV s hustotou prsti jako v předchozím příkladě. Určete prst, že jejich aritmetický průměr bude větší než 1,5.