na čelo
do školičky

1. Formulujte danou úlohu.
2. Vysvětlete princip Gaussovy eliminační metody s úplnou pivotací.
3. Popište postup při řešení přeurčených soustav.
4. Pomocí GEM s úplnou pivotací vyřešte:

        x1 + x2       =  2
             x2 +  x3 =  2
        x1 +      2x3 =  3
        x1 + x2 + 2x3 = 10
   

5. Uveďte výhody GEM s pivotací oproti normální GEM (bez pivotace).

1. Formulujte danou úlohu.
2. Vysvětlete rozdíl mezi interpolací a diskrétní L₂ aproximací.
3. Popište konstrukci diskrétní L₂ aproximace.
4. Určete lineární funkci f, která je diskrétní L₂ aproximace f

   x	1	2	3	4
   f(x)	6	4	3	1

5. Vysvětlete smysl použití ortogonálních polynomů.

1. Formulujte danou úlohu.
2. Vysvětlete princip Gaussových kvadraturních vzorců. Odvoďte jednobodový Gaussův kvadraturní vzorec.
3. Uveďte dvoubodový Gaussův kvadraturní vzorec pro interval <-1;1> a popište jak ho lze použít pro obecný interval <a;b>.
4. Pomocí dvoubodového Gaussova kvadraturního vzorce vypočtěte

   0,4
   ň	3x arctgx dx
   0,2

5. Objasněte problematiku konvergence Gaussových vzorců. Vysvětlete pojem algbraický řád přesnosti.

1. Formulujte danou úlohu.
2. Vysvětlete obecný princip iteračních metod pro řešení nelineárních rovnic.
3. Popište Newtonovu metodu.
4. Určete kořen rovnice x³ - sinx + tgx = 0 na intervalu (p/2; 3p/2) pro x₀ = 2 a e = 0,001.
5. Uveďte výhody a nevýhody Newtonovy metody vzhledem k ostatním metodám.

1. Formulujte danou úlohu.
2. Popište metodu Rayleighova podílu.
3. Uveďte nutné předpoklady pro užití metody Rayleighova podílu a vysvětlete jejich význam.
4. Určete dominantní číslo matice

        [ 1  2  3  ]
    A = [ 4  5  6  ]
        [ 7  8  10 ]
   

5. Srovnejte mocninnou metodu s metodou Rayleighova podílu (rychlost konvergence, stabilita).

1. Formulujte danou úlohu.
2. Vysvětlete ideu odvození vztahů pro aproximaci 1. derivace funkce. Napište základní dva dvoubodové a jeden tříbodový vzorec.
3. Popište Richardsonovu extrapolaci.
4. Pomocí základního tříbodového vzorce vypočtěte hodnotu první derivace funkce f(x) = x^-2 sinx v bodě x₀ = 1 s kroky h=0,4, h=0,2, h=0,1, pro zpřesnění použijte Richardsonovu extrapolaci.
5. Objasněte závislost celkové chyby na volbě kroku h. Co platí pro podmíněnost úlohy numerického derivování?

1. Formulujte danou úlohu.
2. Vysvětlete obecný princip iteračních metod pro řešení soustav nelineárních rovnic.
3. Popište metodu prosté iterace. Uveďte postačující podmínky konvergence.
4. Určete řešení soustav rovnic

        x2 sin y + y cos x + x - 1 = 0
                     x3 + x2 y - 1 = 0
   

   na oblasti R Î <1/2; 3/2> ´ <0; 1> pro x₀ = 0,9 a y₀ = 0,1.
5. Uveďte výhody a nevýhody prosté iterace.

1. Formulujte danou úlohu.
2. Vysvětlete konstrukci Newtonova interpolačního polynomu.
3. Sestrojte Newtonův interpolační polynom

   x	0	1	3
   f(x)	3	2	6

4. Určete přibližnou hodnotu funkce f v bodě 2.
5. Porovnejte možnosti použití interpolace Newtonovým polynomem s interpolací kubickou spline funkcí.

1. Formulujte danou úlohu.
2. Vysvětlete ideu odvození vztahů pro aproximaci 1. derivace funkce. Napište základní dva dvoubodové a jeden tříbodový vzorec.
3. Popište Richardsonovu extrapolaci.
4. Pomocí základního tříbodového vzorce vypočtěte hodnotu první derivace funkce f(x) = x² arctgx v bodě x₀ = 1 s kroky h=0,4, h=0,2, h=0,1, pro zpřesnění použijte Richardsonovu extrapolaci.
5. Objasněte závislost celkové chyby na volbě kroku h. Co platí pro podmíněnost úlohy numerického derivování?

p1_01 Nelineárka: x^1/2 - tgx = 0 na (p/2; 3p/2) pro x₀ = 3 a e = 0,001.

p1_02 Nelineárka: 5x + 4 + sin²x - x⁴ = 0 na <1; 3> pro x₀ = 2,5 a e = 0,001.

p1_08 GEMPU přeurčenou soustavu

     x1 +      2x3 = 3
     2x1 + x2 + x3 = 6
     x1 + x2       = 2
          x2 +  x3 = 2

     [ 6  1  1  |  2 ]
     [ 1  7  2  |  5 ]
     [ 1  3  8  |  7 ]

     [ 1  4  9 ]
 A = [ 3  1  8 ]
     [ 1  3  9 ]

p2_02 Lagrange interpolace a funkční hodnota f(3)

x	0	2	5
f(x)	10	6	15

a taky: Porovnejte možnosti použití interpolace Lagrangovým polynomem s interpolací kubickou spline funkcí.

p2_07 Newton interpolace

x	1	3	4
f(x)	6	2	3

p2_08 Newton interpolace

x	1	4	6
f(x)	25	6	10

p2_12 Diskrétní L₂ aproximace

x	1	2	4	6
f(x)	1	3	5	8

p3_07 Newton-Cotes lichoběžníkovým pravidlem složeným a zpřesnit Rombergem

1
ň	x2 sin 2x dx
0

p3_08 Newton-Cotes lichoběžníkovým pravidlem složeným pro h=0,2 a h=0,1 a zpřesnit Rombergem

1
ň	x2 arctgx dx
0

a taky: Objasněte problematiku konvergence Newtonových-Cotesových vzorců a pojem algebraický řád přesnosti.

p3_09 Gaussovy kvadraturní vzorce

1
ň	x2 ex dx
0,8

?? Gaussovy kvadraturní vzorce

0,8
ň	x3 sinx dx
0,6

?? Euler