LO

Několik zadání ze zkoušky z data: 15.1.2004, zk.: Bokr:

1. Zapište formálně úsudky:

   1. je-li X v Praze a bydlí-li u Y, pak Y už ví, co se stalo; je-li X v Praze, bydlí u Y |= neví-li Y ještě, co se stalo, X není v Praze
   2. xy=0 tehdy a jen tehdy, když x=0 nebo y=0 |= xy≠0 právě tehdy, když x≠0 a y≠0

2. Najděte pnf formy:

   (∀x)[(∀y)(P(x)) + (∀z)(R(z,y)) => ∀y (S(x,y))]

1. Ověřte tabelárně i podle Quinn:

   1. p => q, q |= p
   2. p => r, q => s, p+q |= r+s

2. Zapište:

   1. existují nejvýše dvě x splňující P(x)
   2. existují aspoň dvě x splňující P(x)
   3. existují právě dvě x splňující P(x)
   4. existují nejvýše tři x splňující P(x)
   5. existují aspoň tři x splňující P(x)
   6. existují právě tři x splňující P(x)

1. Ověřte tabelárně a graficky:

   1. p ≡ q, p |= q
   2. p => q, q => r, p+q |= r

2. Stanovte pravdivostní hodnotu výroků:

   1. přesně jedno x vyhovuje x+3 = 7-x
   2. přesně dvě x vyhovují x²+4 = 4x
   3. nejvýše dvě y taková, že y+5 < 11 - 2y

3. Stanovte závěr pro Gödelovu implikaci:

     Je-li (d1|0,7; d2|0,2; d3|0,1), pak (δ1|0,9; δ2|0,3; δ3|0,2)
     Značně ¬ (δ1|0,9; δ2|0,3; δ3|0,2)
     -------------------------------------
                     ?
             

1. Ověřte tabelárně, normálními formulemi a graficky:

   1. p+q, q => r, r |= p
   2. p => q |= (pr => qr)

2. Stanovte pravdivostní hodnotu výroků:

   1. aspoň tři z taková, že z² < 2z
   2. pro všechna x je právě jedno y tak, že x+y=2
   3. pro libovolné x existuje právě jedno y tak, že xy=3

3. Stanovte závěr:

     (d1|0,6; d2|0,7; d3|0,4) => (d1|0,2; d2|0,1; d3|0,4)
     ¬ (d1|0,2; d2|0,1; d3|0,4)
     -------------------------------------
                     ?
             

1. Přepište nebo odstraňte uvozovky:

   1. napíšeme-li je za sebou "v", "o", "d", "a", vznikne voda,
   2. On je zájmeno ukazovací,
   3. "f" je funktor,
   4. je-li n přirozené číslo, "2n" je sudé číslo

2. Sestrojte tabulku pravdivostních hodnot formy:

   P(y) + (∃x)(P(x)) pro x,y ∈ {a,b}

3. Sestrojte prenexní formule:

   1. ∃x P(x,z) => ∀z [∃y P(x,z) => ∀x ∃y P(x,y)]
   2. ∃x ∀y [P(x,y) P(y,x)] => [P(x,x) ≡ P(y,y)]

1. Odvoďte podle pravidel přirozené dedukce:

   1. vše je buď drahé nebo se mi to nelíbí; co se líbí snobům a je drahé, nelíbí se mně |= co se mi líbí, nelíbí se snobům
   2. kdo zná Jiřího i Marii, ten Marii lituje; někteří nelitují Marii, ačkoli ji znají |= někdo zná Marii, ale nezná Jiřího

2. Dokažte tabelárně pro x=a a y=a ∨ b platnost formule:

   (∀x)(∀y)(P(x,y)) ≡ (∃x)(∃y)(P(x,y))

1. Posuďte důkazy rezoluční metodou:

   1. (Aristoteles) Vzduch nemá žádnou váhu; nafouknutý i prázdný měch váží stejně |= Kdyby měl vzduch nějakou váhu, kožený měch nafouknutý vzduchem by musel vážit více než měch prázdný.
   2. Všichni lidé, kteří jsou nepoctiví, jsou zámožní; Ford je zámožný |= Ford je nepoctivý.

2. Stanovte závěr:

     Jestliže (d1|0,8; d2|0,9; d3|0,5), pak (δ1|0,4; δ2|0,3; δ3|0,7).
     Značně (d1|0,8; d2|0,9; d3|0,5).
     -------------------------------------
                     ?
     pozn. implikace není kauzální
           

1. Stanovte, je-li třeba, závěr :

   1. Jen výborný matematik je výborný fyzik; Karel je výtečný latinář, ale není výborný fyzik |= ?
   2. Nekteří matematikové mají velké zalíbení v hudbě; Někteří lidé, kteří mají zalíbení v hudbě, ovládají geometrii |= ?

   3.   ∃x ∀y P(x,y)
        ∀x ∀y (P(x,y) v Q(x,y))
        ---------
        ∃x ∀y Q(x,y)
                     

2. Ověřte správnost uvedených úsudků rezoluční metodou.

1. Stanovte, je-li třeba, závěr :

   1. Všechno co mi patří, patří i Jirkovi, a nepatří Evě |= ?
   2. Pudl je pouhý pes; znám takové pudly, kteří by mohli absolvovat základní školu |= ?

   3.   ∀x (P(x) v Q(x))
        ∃x P(x)
        ---------
        ∃x Q(x)
                     

2. Ověřte správnost uvedených úsudků rezoluční metodou.

1. Buď h(p) = {0,2|d1; 0,4|d2; 0,6|d3; 0,8|d4}. Sestrojte (nejméně 2 ze 4) h(p), (nejméně 3 ze 4) h(p), (nejvíce 2 ze 4) h(p) a (nejvíce 3 ze 4) h(p).

2. Dokažte rezoluční metodou, že platí:

   1. [(p => q) (p => r)] => (p => qr)
   2. (∃y)(∀z)[p(z,y) ≡ (∃z)(p(z,x)p(x,z))]

1. Sestrojte Skolemovu formuli k formuli:

   (∃x)(∀n)(∀y) [p(x) r(n) + p(x) r(z) + q(y)]

2. Sestrojte ohraničení kvantifikovaného výroku (více méně):(chlapec je malý), kde :(chlapec je malý) = {0,1|50, 0,6|70, 0,8|90, 1|110, 0,9|130, 0,7|150} s proporcí: 10 chlapců je vysokých 50cm, 20 chlapců je vysokých 70cm, 30 chlapců je vysokých 90cm, 25 chlapců je vysokých 110cm, 15 chlapců je vysokých 130cm, 10 chlapců je vysokých 150cm s ohraničením "více méně" {1|80, 0,8|60, 0,6|40, 0,4|20, 0,2|5} na třídách chlapců početných 80, 60, 40, 20 a 5 chlapců.

Typografická poznámka: V zápisu matematických formulí jsou užity HTML entity pro znaky "kvantifikátor: pro všechny" (∀), "kvantifikátor: existuje" (∃), "ekvivalence" (≡), "logické nebo" (∨), "je z" (∈), "delta" (δ), "nerovná se" (≠) a "negace" (¬). Některé entity jsou vybaveny tooltipy, tj. atributy TITLE, zobrazitelnými po přejetí myší. Dále pro zápis "implikace" (=>) a "vyplývá" (|=) jsem volil okliku; pro zápis "negační pruh" jsem využil pouze CSS (v kódu HTML je pak jen obecný kontejner s třídou negace). Některé prohlížeče mohou mít při zobrazování těchto zápisů různé problémy (ať už to způsobuje jejich stáří, nepodpora CSS, textový režim nebo chybějící fonty), pak vám asi nezbývá, než nahlédnout do zdrojového kódu stránky.